यदि हमारे पास दो टीएम हैं जो एक निर्णायक भाषा का वर्णन करते हैं तो क्या तुल्यता प्रश्न अभी भी अनिर्णीत है?
कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत के क्षेत्र में, निर्णय लेने की अवधारणा एक मौलिक भूमिका निभाती है। किसी भाषा को निर्णय लेने योग्य तब कहा जाता है जब कोई ट्यूरिंग मशीन (TM) मौजूद हो जो किसी भी दिए गए इनपुट के लिए यह निर्धारित कर सके कि वह भाषा से संबंधित है या नहीं। किसी भाषा की निर्णय लेने की क्षमता एक महत्वपूर्ण गुण है, क्योंकि यह हमें भाषा और उसके गुणों के बारे में एल्गोरिदम के अनुसार तर्क करने की अनुमति देती है।
ट्यूरिंग मशीनों के लिए समतुल्यता प्रश्न यह निर्धारित करने से संबंधित है कि क्या दो दिए गए टीएम एक ही भाषा को पहचानते हैं। औपचारिक रूप से, दो टीएम एम1 और एम2 दिए जाने पर, तुल्यता प्रश्न पूछता है कि क्या एल(एम1) = एल(एम2), जहां एल(एम) टीएम एम द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा का प्रतिनिधित्व करता है।
दो टीएम की समतुल्यता निर्धारित करने की सामान्य समस्या को अनिर्णीत माना जाता है। इसका मतलब यह है कि ऐसा कोई एल्गोरिदम नहीं है जो हमेशा यह तय कर सके कि दो मनमाने टीएम एक ही भाषा को पहचानते हैं या नहीं। इस परिणाम को एलन ट्यूरिंग ने कम्प्यूटेबिलिटी पर अपने मौलिक कार्य में सिद्ध किया था।
हालाँकि, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह परिणाम मनमाने ढंग से टीएम के सामान्य मामले के लिए है। विशिष्ट मामले में जहां दोनों टीएम निर्णय योग्य भाषाओं का वर्णन करते हैं, समतुल्यता प्रश्न निर्णय योग्य हो जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि निर्णय लेने योग्य भाषाएँ वे हैं जिनके लिए एक टीएम मौजूद है जो भाषा में सदस्यता तय कर सकती है। इसलिए, यदि दो टीएम निर्णय लेने योग्य भाषाओं का वर्णन करते हैं, तो हम एक नया टीएम बना सकते हैं जो उनकी तुल्यता तय करता है।
इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हमारे पास दो टीएम एम1 और एम2 हैं जो निर्णय लेने योग्य भाषाओं का वर्णन करते हैं। हम एक नए टीएम एम का निर्माण कर सकते हैं जो उनकी तुल्यता को निम्नानुसार तय करता है:
1. एक इनपुट x दिया गया है, x पर M1 और x पर M2 का एक साथ अनुकरण करें।
2. यदि M1 x को स्वीकार करता है और M2 x को स्वीकार करता है, तो स्वीकार करें।
3. यदि M1 x को अस्वीकार करता है और M2 x को अस्वीकार करता है, तो स्वीकार करें।
4. अन्यथा अस्वीकार करें.
निर्माण के अनुसार, टीएम एम एक इनपुट x स्वीकार करेगा यदि और केवल यदि M1 और M2 दोनों x स्वीकार करते हैं, या M1 और M2 दोनों x को अस्वीकार करते हैं। इसका मतलब यह है कि M किसी दिए गए इनपुट x के लिए M1 और M2 की तुल्यता तय करता है।
जबकि दो मनमानी टीएम की समतुल्यता निर्धारित करने की सामान्य समस्या अनिर्णीत है, यदि टीएम निर्णायक भाषाओं का वर्णन करते हैं, तो समतुल्यता प्रश्न निर्णायक हो जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि निर्णय लेने योग्य भाषाओं को टीएम द्वारा तय किया जा सकता है, जिससे हमें एक टीएम का निर्माण करने की अनुमति मिलती है जो उनकी समकक्षता तय करती है। निर्णायक भाषाओं का वर्णन करने वाले टीएम के लिए समतुल्य प्रश्न की निर्णायकता इन भाषाओं की कम्प्यूटेशनल जटिलता में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करती है।
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