क्वांटम सूचना विज्ञान में, आधारों की अवधारणा क्वांटम अवस्थाओं को समझने और उनमें हेरफेर करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। आधार सदिशों के समूह हैं जिनका उपयोग इन सदिशों के रैखिक संयोजन के माध्यम से किसी भी क्वांटम अवस्था को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। कम्प्यूटेशनल आधार, जिसे अक्सर |0⟩ और |1⟩ के रूप में दर्शाया जाता है, क्वांटम कंप्यूटिंग में सबसे मौलिक आधारों में से एक है, जो एक क्वबिट के आधार राज्यों का प्रतिनिधित्व करता है। ये आधार वैक्टर एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं, जिसका अर्थ है कि वे जटिल विमान में एक दूसरे से 90 डिग्री के कोण पर हैं।
वैक्टर |+⟩ और |−⟩ के साथ आधार पर विचार करते समय, जिसे अक्सर सुपरपोजिशन आधार के रूप में जाना जाता है, कम्प्यूटेशनल आधार के साथ उनके संबंध का विश्लेषण करना महत्वपूर्ण है। वैक्टर |+⟩ और |−⟩ सुपरपोजिशन राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो क्रमशः |0⟩ और |1⟩ राज्यों में हैडामर्ड गेट लगाने से प्राप्त होते हैं। |+⟩ स्थिति |0⟩ और |1⟩ के बराबर सुपरपोजिशन में एक क्वबिट से मेल खाती है, जबकि |−⟩ स्थिति |0⟩ और |1⟩ घटकों के बीच π के चरण अंतर के साथ एक सुपरपोजिशन का प्रतिनिधित्व करती है।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या |+⟩ और |−⟩ वैक्टर वाला आधार |0⟩ और |1⟩ वाले कम्प्यूटेशनल आधार के संबंध में अधिकतम गैर-ऑर्थोगोनल है, हमें इन वैक्टरों के बीच आंतरिक उत्पाद की जांच करने की आवश्यकता है। दो वैक्टरों की ऑर्थोगोनलिटी उनके आंतरिक उत्पाद की गणना करके निर्धारित की जा सकती है, जिसे वैक्टर के संबंधित घटकों के उत्पादों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है।
कम्प्यूटेशनल आधार वैक्टर |0⟩ और |1⟩ के लिए, आंतरिक उत्पाद ⟨0|1⟩ = 0 द्वारा दिया गया है, जो दर्शाता है कि वे एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं। दूसरी ओर, सुपरपोजिशन आधार वैक्टर |+⟩ और |−⟩ के लिए, आंतरिक उत्पाद ⟨+|−⟩ = 0 है, जो दर्शाता है कि वे एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल भी हैं।
क्वांटम यांत्रिकी में, दो वैक्टरों को अधिकतम गैर-ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनका आंतरिक उत्पाद अपने अधिकतम मूल्य पर है, जो सामान्यीकृत वैक्टर के मामले में 1 है। दूसरे शब्दों में, अधिकतम गैर-ऑर्थोगोनल वैक्टर ऑर्थोगोनल होने से यथासंभव दूर हैं।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या |+⟩ और |−⟩ वैक्टर वाला आधार कम्प्यूटेशनल आधार के संबंध में अधिकतम गैर-ऑर्थोगोनल है, हमें इन वैक्टरों के बीच आंतरिक उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता है। |+⟩ और |0⟩ के बीच का आंतरिक उत्पाद ⟨+|0⟩ = 1/√2 है, और |+⟩ और |1⟩ के बीच का आंतरिक उत्पाद ⟨+|1⟩ = 1/√2 है। इसी प्रकार, |−⟩ और |0⟩ के बीच का आंतरिक उत्पाद ⟨−|0⟩ = 1/√2 है, और |−⟩ और |1⟩ के बीच का आंतरिक उत्पाद ⟨−|1⟩ = -1/√2 है।
इन गणनाओं से, हम देख सकते हैं कि सुपरपोजिशन आधार वैक्टर और कम्प्यूटेशनल आधार वैक्टर के बीच आंतरिक उत्पाद 1 के अधिकतम मूल्य पर नहीं हैं। इसलिए, |+⟩ और |−⟩ वैक्टर वाला आधार अधिकतम रूप से गैर-ऑर्थोगोनल नहीं है |0⟩ और |1⟩ के साथ कम्प्यूटेशनल आधार से संबंध।
वेक्टर |+⟩ और |−⟩ वाला आधार वैक्टर |0⟩ और |1⟩ के साथ कम्प्यूटेशनल आधार के संबंध में अधिकतम गैर-ऑर्थोगोनल आधार का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। जबकि सुपरपोज़िशन आधार वैक्टर एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं, वे कम्प्यूटेशनल आधार वैक्टर के संबंध में अधिकतम गैर-ऑर्थोगोनल नहीं हैं।
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